Câu 1:

Ta thấy \(S_2=\dfrac{\sqrt{3}+S_1}{1-\sqrt{3}S_1}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}=\dfrac{\left(1+\sqrt{3}\right)^2}{\left(1-\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)}\)\(=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{-2}=-2-\sqrt{3}\)

Từ đó \(S_3=\dfrac{\sqrt{3}+S_2}{1-\sqrt{3}S_2}=\dfrac{\sqrt{3}-2-\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}\left(-2-\sqrt{3}\right)}=\dfrac{-2}{4+2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{-2-\sqrt{3}}\) 

và \(S_4=\dfrac{\sqrt{3}+S_3}{1-\sqrt{3}S_3}=\dfrac{\sqrt{3}+\dfrac{1}{-2-\sqrt{3}}}{1-\dfrac{\sqrt{3}}{-2-\sqrt{3}}}=\dfrac{-2\sqrt{3}-3+1}{-2-\sqrt{3}-\sqrt{3}}=1\)

Đến đây ta thấy \(S_4=S_1\). Cứ tiếp tục làm như trên, ta rút ra được:

\(S_{3k+1}=1\); \(S_{3k+2}=-2-\sqrt{3}\) và \(S_{3k+3}=\dfrac{1}{-2-\sqrt{3}}\), với \(k\inℕ\) 

Ta tính số các số thuộc mỗi dạng \(S_{3k+i}\left(i=1,2,3\right)\) từ \(S_1\) đến \(S_{2017}\).

 - Số các số hạng có dạng \(S_{3k+1}\) là \(\left(2017-1\right):3+1=673\) số

 - Số các số hạng có dạng \(S_{3k+2}\) là \(\left(2015-2\right):3+1=672\) số

 - Số các số hạng có dạng \(S_{3k+3}\) là \(\left(2016-3\right):3+1=672\) số

Như thế, tổng S có thể được viết lại thành 

\(S=\left(S_1+S_4+...+S_{2017}\right)+\left(S_2+S_5+...+S_{2015}\right)+\left(S_3+S_6+...+S_{2016}\right)\)

\(S=613+612\left(-2-\sqrt{3}\right)+612\left(\dfrac{1}{-2-\sqrt{3}}\right)\)

Tới đây mình lười rút gọn lắm, nhưng ý tưởng làm bài này là như vậy.

Có \(\left(x-\sqrt{x^2+5}\right).\left(y-\sqrt{y^2+5}\right)=5\) (1)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-\sqrt{x^2+5}\right).\left(x+\sqrt{x^2+5}\right)}{x+\sqrt{x^2+5}}.\dfrac{\left(y-\sqrt{y^2+5}\right).\left(y+\sqrt{y^2+5}\right)}{y+\sqrt{y^2+5}}=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\sqrt{x^2+5}\right).\left(y+\sqrt{y^2+5}\right)=5\) (2) 

Từ (1) và (2) ta có \(\left(x-\sqrt{x^2+5}\right).\left(y-\sqrt{y^2+5}\right)=\left(x+\sqrt{x^2+5}\right).\left(y+\sqrt{y^2+5}\right)\)

\(\Leftrightarrow x\sqrt{y^2+5}+y\sqrt{x^2+5}=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(y^2+5\right)=y^2\left(x^2+5\right)\left(y\le0;x\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-y^2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\left(\text{loại}\right)\\x=-y\left(\text{nhận}\right)\end{matrix}\right.\)

Khi đó M = x³ + y³ = 0

N = x² + y² = 2y²

Anh xyz ơi giải thích hộ em chỗ (2) ấy.

\(S_1=1\) (còn \(S_n=1\Rightarrow S=2015\))

Tính được \(S_1=1;S_2=-2-\sqrt{3};S_3=-2+\sqrt{3};S_4=1\)

Vậy \(S_i=S_{i+3}\left(i\ge1\right)\)

Mà \(S_1+S_2+S_3=-3\)

\(\Rightarrow S=\sum\limits^{2015}_{i=1}\left(S_i\right)=-3\cdot668+S_{2015}=-3\cdot668+1=-2003\)

#Kaito#

hình như thừa cái căn ngoài cùng

Đề đúng bạn ơi !!

Toshiro Kiyoshi nhờ you

Toshiro Kiyoshi câu 2 thôi nha

\(S_{35}=1-2+3-4+...+\left(-1\right)^{35-1}\cdot35\)

\(S_{60}=1-2+3-4+...+\left(-1\right)^{60-1}\cdot60\)

\(S_{100}=1-2+3-4+...+\left(-1\right)^{100-1}\cdot100\)

Ok ?

Bài này phải là n nguyên dương nhé   

Ta có bài toán tổng quát : Cho pt \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\)có  2 nghiệm x₁ ; x₂ 

Đặt \(S_n=x_1^n+x_2^n\)thì pt \(aS_{n+2}+bS_{n+1}+cS_n=0\)cũng có nghiệm với n nguyên dương

Thật vậy Có : \(aS_{n+2}+bS_{n+1}+cS_n=a\left(x_1^{n+2}+x_2^{n+2}\right)+b\left(x_1^{n+1}+x_2^{n+1}\right)+c\left(x_1^n+x_2^n\right)\)

                                                                 \(=x_1^n\left(ax_1^2+bx_1+c\right)+x_2^n\left(ax_2^2+bx_2+c\right)\)

                                                                  \(=0\)

Vậy bài toán đc c/m

Áp dụng bài toán trên :pt \(x^2-3x+1=0\)Có nghiệm nên 

                  pt \(s_{n+2}-3S_{n+1}+S_n=0\)cũng có nghiệm

\(\Rightarrow S_{n+2}=3S_{n+1}-S_n\)

Ta sẽ c/m S_n là số nguyên bằng phương pháp quy nạp

Với \(n=0\Rightarrow S_0=2\inℤ\)

Với \(n=1\Rightarrow S_1=3\inℤ\)

Với \(n=2\Rightarrow S_2=7\inℤ\)

Giả sử bài toán đúng với .n = k và n = k + 1 (k là stn)

Ta phải c/m phải toán đúng với n = k + 2

Có \(S_{k+2}=6S_{k+1}-S_k\inℤ\left(Do\text{ }S_{k+1};S_k\inℤ\right)\)   

Vậy \(S_n\inℤ\forall n\inℕ^∗\)

Đúng là "đề bài khó wá" =))))))))